Вітаю з Новим роком! Бажаю, щоб майбутній рік приніс нам стільки радощів, скільки днів у році, і щоб кожен день дарував нам посмішку і частинку добра. Нехай все, що ми планували, обов'язково збудеться: все те, що хотіли почати, - почнеться, а що хотіли закінчити - закінчиться. Нехай наступного року ми всі станемо щасливішими, добрішими і уважнішими до оточуючих нас людей, а світ відкриє нам нові двері!

 Навіщо потрібно вчити математику?

Вивчення понять, законів математики та логіки, розв’язання математичних і логічних завдань вимагає розумових зусиль. А навіщо це взагалі потрібно? Навіть якщо ви переконані, що життя вашої дитини не буде пов’язане з математикою, рекомендуємо все одно прочитати цю статтю, щоб як мінімум самому переконатися, що математика викладається у школі не дарма.

1.     Математика розвиває мислення

Як регулярні спортивні тренування «прокачують» тіло, роблять його здоровим, дужим і витривалим, так регулярні заняття математикою «прокачують» мозок — розвивають інтелект і пізнавальні здібності, розширюють кругозір. Математика закладає навички ефективного і швидкого навчання чому завгодно. Все це відбувається завдяки «перетворенню в людину мислячу».

2.     Заняття математикою тренують пам’ять

Вчені зі Стенфордського університету в США вивчили процес розв’язання людиною математичних завдань і з’ясували, що дорослі люди використовують для цих цілей мислення і доведену до автоматизму навичку «діставати» з пам’яті вже наявні там відповіді. І ця звичка «думання», осмислення і запам’ятовування інформації, формується у школярів віці завдяки математичним вправам.

3.     Математика загартовує характер

Для правильного розв’язання математичних і логічних завдань потрібні уважність, наполегливість, відповідальність, точність і акуратність. Чим регулярніше дитина тренує ці «м’язи характеру», тим сильнішими вони стають, тим частіше допомагають дитині у вирішенні не тільки навчальних завдань, але й життєвих проблем.

4.    Математика допомагає досягати успіху в гуманітарних науках

Саме ранні математичні здібності — вірна передумова до того, що в подальшому дитина буде не тільки добре розуміти математику, але і процвітати в інших шкільних дисциплінах. Далі за значущістю внеску в навчальні успіхи йдуть навички читання і здатності керувати своєю увагою.

До того ж математика — наука міждисциплінарна, вона тісно пов’язана з фізикою, географією, геологією, хімією. Соціологія і економіка невіддільні від математики, і багато висновків навіть звично гуманітарних наук, таких як лінгвістика, журналістика, спираються на математичні моделі й поняття, математичні та логічні закони.

5.     Розвиває навички вирішення побутових завдань

розв’язання. Дитина вчиться міркувати, вибудовувати послідовності, продумувати алгоритми, жонглювати відразу декількома поняттями, і ці навички входять в звичку. Завдяки математиці ми позбавляємося і шкідливих звичок: не домислюємо, а оперуємо тільки точними термінами; не просто механічно запам’ятовуємо інформацію і правила, а оцінюємо їх, аналізуємо, розмірковуємо, щоб зрозуміти і засвоїти новий матеріал, чи новий життєвий урок.

6.     Математика — основа успішної кар’єри

Якщо 10-15 років тому перспективним вважалося вивчення іноземних мов, то зараз вільним володінням кількома мовами нікого не здивуєш. Тепер професійна затребуваність багато в чому залежить від розуміння технологій, вміння мислити, абстрагуватися і здібностей до вирішення нестандартних завдань. Вкрай складно обійтися без знання математики тим, хто хоче працювати в сфері IT.

До того ж результативні заняття математикою надають впевненість в собі, адже успіхи в ній вимагають завзятості в прагненні розв’язати найскладніші, іноді, на перший погляд, «нерозв’язні» завдання і проблеми.

7.     Розв’язання завдань виробляє психологічну стійкість

Розв’язання математичних завдань допомагає поліпшити емоційний фон — це заняття здатне позбавити тривоги, допомагає контролювати емоції та попереджає стрес.Таких висновків дійшли вчені з Університету Дьюка в США, які зуміли довести це в дослідженні, опублікованому в журналі «Клінічна психологія» в 2016 році.

8.     Задоволення від «ікс»

І наприкінці, для людини, яка серйозно займається математикою, математичні формули, рівняння й інші логічні та математичні завдання втілюють собою красу, гармонію і доставляють таке ж естетичне задоволення, як музика, мистецтво і гарний жарт, стверджує група дослідників з декількох університетів Великої Британії.

Як навчитися відчувати радість і насолоду від занять математикою, розповідає відомий американський математик, випускник Гарвардського університету,    Стівен Строгац, який на сторінках своєї книги «Задоволення від X» з ентузіазмом, просто і зрозуміло, пояснює найзначніші математичні ідеї.

   Математика  – це цікаво!   

Математика – це потрібно!

Важко обійтися сьогодні без математики! Усім – і дорослим, і дітям – потрібна її допомога у повсякденному житті. Колись в Америці було обіцяно велику премію тому, хто напише книжку під назвою „Як людина жила без математики”. Бажаючих одержати премію знайшлося чимало та написати таку книжку ніхто не зміг. Нині освічена людина – це не лише самодостатня особистість, це людина високої загальної культури, підготовлена до змін в умовах праці та способі життя.

Одним із шляхів удосконалення навчання учнів такому складному предмету є нетрадиційність у його репрезентації школярам. Такий підхід характеризується більшою відкритістю суспільству, орієнтацією на майбутню професійну діяльність випускників школи.

Математика неосяжна. На питання: „Чи можна розвинути в собі такі здібності, щоб передбачити результати ще до того, як зроблено перший крок на шляху до розв’язання проблеми?» Відповідь: «Можна!» Але для цього потрібно подружитися з математикою.

Ключовою фігурою тут є вчитель математики – компетентний фахівець. Спостерігаючи за учнем, він спроможний виявити гнучкість, стійкість мислення, рівень концентрації уваги, швидкість і легкість запам’ятовування матеріалу. Саме завдяки вивченню математики дитина набуває такі вміння і навички, які формують рівень її інтелекту.

Математика в школі – це дисципліна, при вивченні якої вчитель повинен постійно створювати ситуацію успіху. Тоді учень відчує задоволення від маленького відкриття, знахідки, оригінального розв’язання задачі. Педагог повинен мати на кожний урок добірку цікавих завдань, бажано, пов’язаних із практикою життя дітей.

Для вчителя вибір форм і методів організації навчальної діяльності повинен бути спрямований на фомування вміння школярів  спостерігати, аналізувати, конкретизувати, робити висновки, задавати питання, використовувати математичну мову, відстоювати власну думку, оперувати отриманими знаннями у стандартних та нестандартних ситуаціях.

У процесі викладання математики педагог не повинен забувати про виховання дитячих почуттів. Позитивні емоції можна викликати в учнів, розкривши перед ними таємниці математичних закономірностей, досконалість математичної мови, продемонструвати тісні зв’язки з природою, технікою та мистецтвом. Такі уроки окрім творчих здібностей, створюють грунт для формування естетичного почуття. Естетичні почуття сприяють глибокому засвоєнню знань. Саме краса формує розумову діяльність, надає довершеної форми міркуванням та розв’язкам.

Найчастіше саме математика викликає в учнів здивування. Для прикладу, задача: „Розріжте прямокутник на дві частини так, щоб можна було скласти з них трикутник”. При її розв’язуванні,  як  правило, більшість учнів розрізають прямокутник за його діагоналями і складають трикутник двома способами, прикладаючи відповідно більші або менші сторони. Інший спосіб викликає в учнів подив. Для усвідомлення нового способу, даю учням завдання з вказівкою: відріжте від прямокутника такий трикутник, дві вершини якого співпадають з точками D і С. Самостійне виконання цього завдання приносить дітям задоволення.

 Самостійне розв’язування задач також є засобом розвитку креативності та математичної компетентності учнів. Наприклад, при вивченні теми „Лінійні рівняння з однією змінною” пропоную учням самостійно створити такі завдання:

1). Створити математичний кросворд з теми «Рівняння».

2). Рівняння, яке б мало безліч розв’язків.

3). Будь-яке рівняння, коренями якого є числа 8 і -10.

4). Скласти задачу з економічним змістом тощо.

Уміння розв’язувати задачі  є одним з показників рівня розвитку математичного мислення учнів. Найяскравіше це демонструє робота з нестандартними задачами. Такі задачі вимагають від виконавця наполегливої праці, креативності, логіки, абстрагування від стандартної ситуації. Тому задачі потрібно добирати такі, які викликали б в учнів бажання їх розв’язувати. Математика має ту перевагу над іншими дисциплінами, що практично кожна задача може торкатися найрізноманітніших аспектів діяльності людини: економічного, сільськогосподарського, культурного, побутового тощо. Математичні розрахунки використовуються скрізь, на кожному кроці. Саме реалізація принципу зв’язку навчання з практикою сприяє формуванню дослідницько-пошукових, аналітичних вмінь та допомагає усвідомити свою причетність до загальнолюдських цінностей. З практики відомо, що важливими є задачі, які вимагають побудови щонайкоротшої дороги, обрання найкоротшого маршруту, знайти місце для побудови об’єктів таким чином, щоб транспортні витрати були мінімальні.

 Інтерес до вивчення математики також  підсилюється за допомогою відомостей з історії математики та про діяльність великих математиків, їх відкриття. Правильно організовані форми інтереактивного навчального спілкування можуть стати ефективним шляхом подолання труднощів, пов’язаних з різним темпом навчання і рівнем розвитку дитини. Цікаво, що на уроках, де використовувались методи, що стимулюють творчість дитини, слабші учні досагали успіху. Вони починали слухати про що йде мова, і непомітно для себе вступали в діалог. Були випадки, коли вони знаходили відповідь швидше за інших. Створюючи на уроках ситуацію успіху, завжди повторюю вихованцям, що вірю в кожного з них і в те, що серед них є майбутні великі математики.Такий мотиваційний прийом підвищує зацікавленість у вивченні предмету, допомагає розкрити здібності учнів. Усі вони в меншій чи більшій мірі здатні робити відкриття. Ці творчі паростки ми, вчителі, повинні культивувати й розвивати, щоб кожен з наших вихованців усвідомив: математика – це цікаво! Математика – це необхідно!

Прямокутний трикутник

 

Прямокутний трикутник — трикутник, один із кутів якого прямий. Прямокутний трикутник займає
особливе місце в планіметрії, оскільки для нього існують прості співвідношення між сторонами і кутами.

Сторони прямокутного трикутника мають власні назви. Дві сторони, що утворюють прямий кут називаються катетами, а третя сторона — гіпотенузою. Традиційно катети позначаються літерами a та b, а гіпотенуза — літерою c. За теоремою Піфагора можна знайти будь-яку сторону прямокутного трикутника, якщо відомі дві інші сторони.

 За теоремою Піфагора квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.

Звідси можна знайти інші сторони прямокутного трикутника.

Катети є водночас висотами прямокутного трикутника. Тому площа прямокутного трикутника дорівнює:

 S=1/2 ab

Властивості прямокутних трикутників

1.   Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°.

2.   Якщо у прямокутному трикутнику один з гострих кутів дорівнює 30°, то протилежний цьому куту катет буде дорівнювати половині гіпотенузи.

3.   Якщо катет прямокутного трикутника дорівнює половині гіпотенузи, то кут, що лежить проти цього катета, дорівнює 30°.

4.   Медіана, проведена до гіпотенузи прямокутного трикутника, ділить його на два рівнобедрених трикутники, оскільки медіана дорівнює половині гіпотенузи.

5.   Якщо описати коло навколо прямокутного трикутника, то гіпотенуза буде діаметром кола.

Ознаки рівності прямокутних трикутників

У прямокутного трикутника є такі ознаки рівності:

·         За двома катетами.

Якщо катети одного прямокутного трикутника дорівнюють відповідно катетам другого, то такі трикутники рівні.

·         За катетом і прилеглим гострим кутом.

Якщо катет і прилеглий до нього гострий кут одного прямокутного трикутника дорівнюють відповідно катету й прилеглому до нього гострому куту другого, то такі трикутники рівні.

·         За катетом і протилежним гострим кутом.

Якщо катет і протилежний йому гострий кут одного прямокутного трикутника дорівнюють відповідно катету й протилежно йому гострому куту другого, то такі трикутники рівні.

·         За гіпотенузою і катетом.

Якщо гіпотенуза і катет одного прямокутного трикутника дорівнюють відповідно гіпотенузі й катету другого, то такі трикутники рівні.

·         За гіпотенузою і гострим кутом.

Якщо гіпотенуза і гострий кут одного прямокутного трикутника дорівнюють відповідно гіпотенузі й гострому куту другого, то такі трикутники рівні.

Тригонометрія у прямому трикутнику

Тригонометричні функції для гострих кутів можна визначити як відношення сторін прямокутного трикутника. Для будь-якого даного кута можна побудувати прямокутний трикутник, що містить такий кут, і зі сторонами: протилежним катетом, прилеглим катетом і гіпотенузою, пов'язаними з цим кутом певним співвідношенням. Ці відносини сторін не залежать від конкретного обраного прямокутного трикутника, а залежать тільки від заданого кута, оскільки всі трикутники, побудовані таким чином, є подібними.

·         Синусом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до гіпотенузи.

·         Косинусом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до гіпотенузи.

·         Тангенсом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до прилеглого катета.

·         Котангенсом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до протилежного катета.

Розглянемо у формальних позначених через малюнок вище.

 

 

 

 

Звідси можна зробити висновок, що:

·         Щоб знайти катет, протилежний до гострого кута прямокутного трикутника, потрібно гіпотенузу помножити на синус цього кута, або прилеглий катет помножити на тангенс цього кута.

·         Щоб знайти катет, прилеглий до гострого кута прямокутного трикутника, потрібно гіпотенузу помножити на косинус цього кута, або протилежний катет помножити на котангенс цього кута.

·         Щоб знайти гіпотенузу, потрібно катет, прилеглий до гострого кута, поділити на косинус цього кута, або катет, протилежний до гострого кута, поділити на синус цього кута.

    Вписане й описане коло прямокутного трикутника.

Описане коло.   Центром кола, описаного навколо прямокутного трикутника, є середина гіпотенузи. 

Вписане коло

Вписане коло

У прямокутний трикутник  ABC з прямим кутом ${\displaystyle \angle {\text{C}}}$ вписане коло, яке дотикається до катетів у точках ${\displaystyle K}$ і ${\displaystyle N}$. Відрізки ${\displaystyle KC}$ і ${\displaystyle NC}$ дорівнюють радіусу кола.

Радіус вписаного кола у прямокутний трикутник з катетами ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$ і гіпотенузою ${\displaystyle c}$ знаходиться за формулою:

${\displaystyle r={\frac {a+b-c}{2}}}$

Площа прямокутного трикутника може бути знайдена як добудок довжин відрізків на які гіпотенузу ділить точка дотику вписаного кола. Тобто, якщо ${\displaystyle M}$ — точка дотику вписаного кола до гіпотенузи ${\displaystyle AB}$, то^[1]:

${\displaystyle S=AM*MB}$

Теорема про висоту прямокутного трикутника

Нехай ${\displaystyle h}$ — висота прямокутного трикутника ${\displaystyle ABC}$, опущена на гіпотенузу прямого кута, і нехай вона ділить гіпотенузу на відрізки ${\displaystyle m}$ та ${\displaystyle n}$, які є проєкціями катетів ${\displaystyle a}$ та ${\displaystyle b}$ на гіпотенузу ${\displaystyle c}$ відповідно. Тоді справедливі такі рівності:

1. ${\displaystyle h^{2}=n{\cdot }m}$
2. ${\displaystyle a^{2}=c{\cdot }m}$
3. ${\displaystyle b^{2}=c{\cdot }n}$
4. ${\displaystyle h{\cdot }c=a{\cdot }b}$

Доведення. Трикутники ${\displaystyle ACH}$, ${\displaystyle BCH}$ та ${\displaystyle ABC}$ подібні між собою (за гострим кутом як прямокутні трикутники).

З подібності трикутників ${\displaystyle ACH}$ та ${\displaystyle ABC}$ маємо, що ${\displaystyle {\frac {h}{a}}={\frac {b}{c}}={\frac {n}{b}}}$. Звідси випливає, що ${\displaystyle b^{2}=c{\cdot }n}$ та ${\displaystyle h{\cdot }c=a{\cdot }b}$. Також звідси випливає рівність ${\displaystyle h={\frac {a{\cdot }n}{b}}}$.

З подібності трикутників ${\displaystyle BCH}$ та ${\displaystyle ABC}$ маємо, що ${\displaystyle {\frac {h}{b}}={\frac {a}{c}}={\frac {m}{a}}}$. Звідси випливає, що ${\displaystyle a^{2}=c{\cdot }m}$. Також звідси випливає рівність ${\displaystyle h={\frac {b{\cdot }m}{a}}}$.

Оскільки ${\displaystyle h={\frac {a{\cdot }n}{b}}}$ та ${\displaystyle h={\frac {b{\cdot }m}{a}}}$, то, перемноживши між собою праві та ліві частини рівностей, одержимо ${\displaystyle h^{2}={\frac {a{\cdot }n}{b}}{\cdot }{\frac {b{\cdot }m}{a}}=m{\cdot }n}$. Таким чином доведено всі чотири рівності.