Прямокутний трикутник

 

Прямокутний трикутник — трикутник, один із кутів якого прямий. Прямокутний трикутник займає
особливе місце в планіметрії, оскільки для нього існують прості співвідношення між сторонами і кутами.

Сторони прямокутного трикутника мають власні назви. Дві сторони, що утворюють прямий кут називаються катетами, а третя сторона — гіпотенузою. Традиційно катети позначаються літерами a та b, а гіпотенуза — літерою c. За теоремою Піфагора можна знайти будь-яку сторону прямокутного трикутника, якщо відомі дві інші сторони.

 За теоремою Піфагора квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.

Звідси можна знайти інші сторони прямокутного трикутника.

Катети є водночас висотами прямокутного трикутника. Тому площа прямокутного трикутника дорівнює:

 S=1/2 ab

Властивості прямокутних трикутників

1.   Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°.

2.   Якщо у прямокутному трикутнику один з гострих кутів дорівнює 30°, то протилежний цьому куту катет буде дорівнювати половині гіпотенузи.

3.   Якщо катет прямокутного трикутника дорівнює половині гіпотенузи, то кут, що лежить проти цього катета, дорівнює 30°.

4.   Медіана, проведена до гіпотенузи прямокутного трикутника, ділить його на два рівнобедрених трикутники, оскільки медіана дорівнює половині гіпотенузи.

5.   Якщо описати коло навколо прямокутного трикутника, то гіпотенуза буде діаметром кола.

Ознаки рівності прямокутних трикутників

У прямокутного трикутника є такі ознаки рівності:

·         За двома катетами.

Якщо катети одного прямокутного трикутника дорівнюють відповідно катетам другого, то такі трикутники рівні.

·         За катетом і прилеглим гострим кутом.

Якщо катет і прилеглий до нього гострий кут одного прямокутного трикутника дорівнюють відповідно катету й прилеглому до нього гострому куту другого, то такі трикутники рівні.

·         За катетом і протилежним гострим кутом.

Якщо катет і протилежний йому гострий кут одного прямокутного трикутника дорівнюють відповідно катету й протилежно йому гострому куту другого, то такі трикутники рівні.

·         За гіпотенузою і катетом.

Якщо гіпотенуза і катет одного прямокутного трикутника дорівнюють відповідно гіпотенузі й катету другого, то такі трикутники рівні.

·         За гіпотенузою і гострим кутом.

Якщо гіпотенуза і гострий кут одного прямокутного трикутника дорівнюють відповідно гіпотенузі й гострому куту другого, то такі трикутники рівні.

Тригонометрія у прямому трикутнику

Тригонометричні функції для гострих кутів можна визначити як відношення сторін прямокутного трикутника. Для будь-якого даного кута можна побудувати прямокутний трикутник, що містить такий кут, і зі сторонами: протилежним катетом, прилеглим катетом і гіпотенузою, пов'язаними з цим кутом певним співвідношенням. Ці відносини сторін не залежать від конкретного обраного прямокутного трикутника, а залежать тільки від заданого кута, оскільки всі трикутники, побудовані таким чином, є подібними.

·         Синусом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до гіпотенузи.

·         Косинусом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до гіпотенузи.

·         Тангенсом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до прилеглого катета.

·         Котангенсом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до протилежного катета.

Розглянемо у формальних позначених через малюнок вище.

 

 

 

 

Звідси можна зробити висновок, що:

·         Щоб знайти катет, протилежний до гострого кута прямокутного трикутника, потрібно гіпотенузу помножити на синус цього кута, або прилеглий катет помножити на тангенс цього кута.

·         Щоб знайти катет, прилеглий до гострого кута прямокутного трикутника, потрібно гіпотенузу помножити на косинус цього кута, або протилежний катет помножити на котангенс цього кута.

·         Щоб знайти гіпотенузу, потрібно катет, прилеглий до гострого кута, поділити на косинус цього кута, або катет, протилежний до гострого кута, поділити на синус цього кута.

    Вписане й описане коло прямокутного трикутника.

Описане коло.   Центром кола, описаного навколо прямокутного трикутника, є середина гіпотенузи. 

Вписане коло

Вписане коло

У прямокутний трикутник  ABC з прямим кутом ${\displaystyle \angle {\text{C}}}$ вписане коло, яке дотикається до катетів у точках ${\displaystyle K}$ і ${\displaystyle N}$. Відрізки ${\displaystyle KC}$ і ${\displaystyle NC}$ дорівнюють радіусу кола.

Радіус вписаного кола у прямокутний трикутник з катетами ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$ і гіпотенузою ${\displaystyle c}$ знаходиться за формулою:

${\displaystyle r={\frac {a+b-c}{2}}}$

Площа прямокутного трикутника може бути знайдена як добудок довжин відрізків на які гіпотенузу ділить точка дотику вписаного кола. Тобто, якщо ${\displaystyle M}$ — точка дотику вписаного кола до гіпотенузи ${\displaystyle AB}$, то^[1]:

${\displaystyle S=AM*MB}$

Теорема про висоту прямокутного трикутника

Нехай ${\displaystyle h}$ — висота прямокутного трикутника ${\displaystyle ABC}$, опущена на гіпотенузу прямого кута, і нехай вона ділить гіпотенузу на відрізки ${\displaystyle m}$ та ${\displaystyle n}$, які є проєкціями катетів ${\displaystyle a}$ та ${\displaystyle b}$ на гіпотенузу ${\displaystyle c}$ відповідно. Тоді справедливі такі рівності:

1. ${\displaystyle h^{2}=n{\cdot }m}$
2. ${\displaystyle a^{2}=c{\cdot }m}$
3. ${\displaystyle b^{2}=c{\cdot }n}$
4. ${\displaystyle h{\cdot }c=a{\cdot }b}$

Доведення. Трикутники ${\displaystyle ACH}$, ${\displaystyle BCH}$ та ${\displaystyle ABC}$ подібні між собою (за гострим кутом як прямокутні трикутники).

З подібності трикутників ${\displaystyle ACH}$ та ${\displaystyle ABC}$ маємо, що ${\displaystyle {\frac {h}{a}}={\frac {b}{c}}={\frac {n}{b}}}$. Звідси випливає, що ${\displaystyle b^{2}=c{\cdot }n}$ та ${\displaystyle h{\cdot }c=a{\cdot }b}$. Також звідси випливає рівність ${\displaystyle h={\frac {a{\cdot }n}{b}}}$.

З подібності трикутників ${\displaystyle BCH}$ та ${\displaystyle ABC}$ маємо, що ${\displaystyle {\frac {h}{b}}={\frac {a}{c}}={\frac {m}{a}}}$. Звідси випливає, що ${\displaystyle a^{2}=c{\cdot }m}$. Також звідси випливає рівність ${\displaystyle h={\frac {b{\cdot }m}{a}}}$.

Оскільки ${\displaystyle h={\frac {a{\cdot }n}{b}}}$ та ${\displaystyle h={\frac {b{\cdot }m}{a}}}$, то, перемноживши між собою праві та ліві частини рівностей, одержимо ${\displaystyle h^{2}={\frac {a{\cdot }n}{b}}{\cdot }{\frac {b{\cdot }m}{a}}=m{\cdot }n}$. Таким чином доведено всі чотири рівності.

Цікаві факти про фізику

 70 цікавих фактів про фізику 

  Багато хто вважає фізику нудним предметом. Але це не так, тому що в реальному житті все відбувається саме завдяки цій науці. На дану природну науку можна поглянути не тільки з боку вирішення завдань, а й створення формул. Фізика також вивчає Всесвіт, в якому живе людина, а тому жити не знаючи правил Всесвіту стає нецікаво.

 Фізика – це дійсно магія.

  До вашої уваги справді цікаві та несподівані факти, що дарує нам ця наука.

1. Як відомо з підручників у води немає форми, але вода все-таки має свою форму. Це куля.

2. В залежності від погодних умов висота Ейфелевої вежі може коливатися на 12 сантиметрів. У спекотну погоду балки нагріваються до 40 градусів і під впливом високих температур розширюються, що і змінює висоту даної будівлі.

3. Щоб відчути слабкі струми, фізику Василю Петрову довелося видалити верхній шар епітелію на кінчику пальця.

4. Щоб розуміти природу зору, Ісаак Ньютон вводив в своє око зонд.

5. Звичайний пастуший батіг вважається першим пристосуванням, яке подолало звуковий бар'єр.

6. Якщо розгорнути скотч в вакуумному просторі, то можна побачити рентгенівське випромінювання і видиме світіння.

7. Відомий всім Ейнштейн був двієчником.

8. Тіло не є хорошим провідником струму.

9. Найсерйознішим розділом фізики вважається ядерна.

10. Найсправжніший ядерний реактор діяв 2 мільярди років тому на території Окло. Приблизно 100000 років тривала реакція реактора, і тільки тоді, коли вичерпалася уранова жила, це завершилося.

11. Температура на поверхні Сонця в 5 разів нижче, ніж температура блискавки.

12. Капелька дощу важить більше, ніж комар.

13. Літаючі комахи орієнтовані в процесі польоту тільки на світло Місяця або Сонця.

14. Спектр утворюється в момент, коли сонячні промені проходять через краплі в повітрі.

15. Текучість, утворена за рахунок напруги, характерна для льодовиків великого льоду.  

16. Повільніше світло поширюється в прозорому середовищі, ніж у вакуумній.

17. Двох сніжинок з однаковим візерунком не буває.

18. Коли формується лід, кристалічна решітка починає втрачати вміст солі, що і стає причиною виникнення крижаної і солоної води в деяких точках низхідних потоків.

19. Для своїх експериментів фізик Жан-Антуан Нолле в ролі матеріалу використовував людей.

20. Без використання штопора пляшку можна відкрити, якщо притулити газету до стіни.

21. Щоб врятуватися в падаючому ліфті, потрібно зайняти позу «лежачи», зайнявши при цьому максимальну площу статі. Так сила удару рівномірно розподілиться по всьому тілу.

22. Повітря від Сонця нагрівається не безпосередньо.

23. В зв'язку з тим, що Сонце випромінює світло в усіх діапазонах, воно має білий колір, хоч і здається жовтим.

24. Швидше звук поширюється там, де щільніше середу.

25. Шум Ніагарського водоспаду прирівнюється шуму фабричного цеху.

26. Вода здатна проводити електрику тільки за допомогою іонів, які розчиняються в ній.

27. Максимальна щільність води досягається температурою 4 градуси.

28. Біогенне походження має практично весь кисень атмосфери, але до виникнення фотосинтезуючих бактерій атмосфера вважалася безкисневому.

29. Первим двигуном була машина з назвою еолопіл, яку створив грецький вчений Герон Олександрійський.

30. Через 100 років після створення Ніколою Тесла першого радіокерованого корабля в продажу з'явилися подібні іграшки.

31. Нобелівску премію було заборонено отримувати у нацистській Німеччині.

32. Короткохвильові компоненти сонячного спектра поширюються в повітрі сильніше, ніж довгохвильові.

33. Прі температурі 20 градусів вода в трубопроводі, в якій є метан, здатна замерзнути.

34. Єдиною що зустрічається в природному середовищі речовиною є вода.

35. Більше всього води знаходиться на Сонце. Вода там знаходиться у вигляді пари.

36. Струм проводить не сама молекула води, а іони, що містяться в ній.

37. Діелектриком є ​​тільки дистильована вода.

38. Кожна куля для боулінгу має однаковий обсяг, але маса у них різна.

39. В водному просторі можна спостерігати процес «сонолюмінісценії» - перетворення звуку в світло.

40. Електрон був виявлений фізиком з Англії Джозефом Джоном Томпсоном в 1897 році.

41. Швидкість електричного струму прирівнюється до швидкості світла.

42. Підключивши звичайні навушники до входу в мікрофон, їх можна застосувати в якості мікрофону.

43. Навіть при дуже сильному вітрі в горах хмари здатні нерухомо висіти. Це відбувається через те, що вітер рухає повітряні маси певним потоком або хвилею, але при цьому різноманітні перепони обтікаются.

44. Пігментів синього або зеленого кольору в оболонці людського ока немає.

45. Щоб вийшло подивитися крізь скло, що має матову поверхню, варто наклеїти на нього частинку прозорого скотчу.

46. При температурі 0 градусів вода в нормальному стані починає перетворюватися в лід.

47. В повному напої «Гіннес» можна помітити, як бульбашки спускаються по стінках келиха вниз замість того, щоб підніматися вгору. Це відбувається через те, що в центрі келиха бульбашки піднімаються швидше і виштовхують рідину вниз у краю з більш сильним в'язким тертям.

48. Вперше явище електричної дуги було описано російським вченим Василем Петровим в 1802 році.

49. От природи і температури залежить ньютонівска в'язкість рідини. Але якщо ж в'язкість залежить ще і від градієнта швидкості, то вона називається неньютонівскою.

50 .В морозильній камері гаряча вода замерзне швидше, ніж холодна.

51 .За 8,3 хвилини фотони у відкритому космосі здатні дістатися до Землі.

52 .Близько 3500 планет земного типу відкрито на сьогоднішній день.

53. У всіх предметів ідентична швидкість падіння.

54. Якщо комар знаходиться на землі, то крапля дощу здатна його вбити.

 55.Все предмети, які оточують людину, складаються з атомів.

56.Скло не рахується твердим тілом, тому що це рідина.

57. Рідкі, газоподібні і тверді тіла завжди при нагріванні розширюються.

58. Приблизно 6000 разів на хвилину вдаряє блискавка.

59. Якщо в повітрі згорає водень, то утворюється вода. 60. Світло має вагу, але не має маси.

61. В той момент, коли людина черкає сірником об коробку, температура сірникової головки підвищується до 200 градусів.

62. В процесі кип'ятіння води її молекули просуваються зі швидкістю 650 метрів в секунду.

63 .На кінчику голки в швейній машинці розвивається тиск до 5000 атмосфер.

64. В світовому просторі існує фізик, який отримав нагороду за найбільш безглузде відкриття в науці. Це Андрій Гейм з Голландії, який в 2000 році був премійований за вивчення левітації жаб.

65. Бензин не має якусь конкретну точку для замерзання.

66. В 10 разів швидше повітря звук проводить граніт.

67. Білий колір відображає світло, а чорний - його притягує.

68. Добавивши в воду цукор, яйце в ній не потоне.

69. Чистий сніг буде танути повільніше, ніж брудний.

70. Магніт не діятиме на нержавіючу сталь, тому що в ній немає різних пропорцій нікелю, що втручаються в дію з атомами заліза.

Цікаві факти про математику

Вся математична інформація розміщена у величезній кількості книг: на сьогодні, їх 
більше 100 000.

Перша у світі жінка-математик жила ще за півтисячоліття до нашої ери в Стародавній Візантії і звали її Гіпатія.

У перекладі з арабської «цифра» означає «нуль», але історично так склалося, що цим словом ми називаємо в принципі все цифри.

Негативні числа аж до XIX століття майже не використовувалися, тому що їх вважали безглуздими і не застосовними. Однак вони мали попит у людей, які ведуть свої справи, для позначення фінансових збитків. Негативні числа так і з'явилися на початку XIII століття - італійський купець Пізано винайшов їх для того, щоб фіксувати свої борги.

Релігійні євреї прагнуть уникати християнської символіки і взагалі знаків, схожих на хрест. Наприклад, учні деяких ізраїльських шкіл замість знака «плюс» пишуть знак, що повторює перевернуту букву «т».

Математики підрахували, що існує цілих 177 147 способів зав'язати краватку. Залишається тільки здогадуватися, перевіряли вони це дослідним шляхом або за допомогою обчислень.

У перекладі з китайської «чотири» означає «смерть», тому число «4» відсутнє в нумерації будинків у багатьох китайських містах, а в ліфтах немає четвертого поверху.

Італійці не люблять число 17. Це пішло з часів стародавнього Риму, коли на всіх надгробках писали напис «мене більше немає», який візуально виглядав як «VIXI», тобто як римські цифри 6 і 11, які в сумі дають 17.

Соціологічні опитування по всьому світу показали, що найбільша кількість людей вважає щасливим числом «7», друге за популярністю - «3». Такі результати не дивні, адже практично у всіх культурах і релігіях з найдавніших часів «7» пов'язане з позитивною енергетикою.

Американський математик Джордж Данціг, будучи аспірантом університету, одного разу спізнився на урок і прийняв написані на дошці рівняння за домашнє завдання. Воно здалося йому складніше звичайного, але через кілька днів він зміг його виконати. Виявилося, що він вирішив дві «нерозв'язані» проблеми в статистиці, над якими билися багато вчених.

Числа, які однакові в обох напрямках (наприклад, 12321) називають паліндромами.

Вітаю зі святом Введення в храм Пресвятої Богородиці!

Народні прикмети на 4 грудня:

Якщо сніг після Введення не розтанув – чекай доброго врожаю хліба

Морозний день 4 грудня віщує холодну і сніжну зиму

Ясна погода пророкує неврожай, і навпаки

Мороз 4 грудня – літо наступного року буде дуже спекотним, а на найближчі свята буде холоднеча.